Capítulo 38: Dualidad

Dualidad

El propósito es evitar el trabajo de analizar un circuito y su dual. La dualidad se define en términos de las ecuaciones del circuito.

Circuitos duales     

Dos circuitos son duales si las ecuaciones de malla que caracterizan a uno de ellos tienen la misma forma matemática que las ecuaciones de nodo que caracterizan al otro circuito.

Circuitos duales exactos   

Dos circuitos son duales exactos si cada una de las ecuaciones de malla de uno de ellos además de tener la misma forma matemática, es numéricamente idéntica con la correspondiente ecuación de nodos del otro circuito.

Relaciones de dualidad: pares duales de elementos, configuraciones y teoremas

ScreenShot623

La dualidad no aplica para potencia, circuitos no planos e inductancia mutua.

Ejemplo 1 Dualidad

Construir el dual exacto.

ScreenShot624

Circuito 1

Se ve al voltaje inicial del condensador V(0)=10 como una fuente de voltaje con la misma polaridad que el voltaje Vc del condensador.

ScreenShot625

ScreenShot626

LVK: Ecuaciones de malla del circuito 1

ScreenShot627

Circuito 2

LCK: Ecuaciones de nodo del circuito 2

Suma de corrientes que entran igual a suma de corrientes que salen.

Para obtener las ecuaciones de nodo se cambian corrientes por voltajes, resistencias por conductancias, bobinas por condensadores y condensadores por bobinas.

ScreenShot628

Se ve a la corriente inicial de la bobina i(0)=10 como una fuente de corriente con la misma dirección que la corriente iL de la bobina.

ScreenShot629

ScreenShot630

El dual exacto es:

ScreenShot631

En este ejemplo no se ha indicado cómo se obtuvo el circuito dual. Lo haremos paso a paso en el siguiente ejemplo.

Construcción de un circuito dual

Ejemplo 2 Dualidad

Construir el circuito dual del siguiente circuito

ScreenShot632

Paso 1: escribir las ecuaciones  de malla del circuito 1

LVK: Ecuaciones de malla del circuito 1

ScreenShot633

ScreenShot634

Paso 2: asociación de mallas y nodos

Asociar cada malla con un nodo, colocando un nodo en el centro de cada malla, así:

ScreenShot635

Paso 3: el nodo de referencia

Colocar un nodo de referencia que encierre el diagrama, así:

ScreenShot636

Paso 4: los elementos pasivos compartidos

Los elementos compartidos por dos mallas se llaman elementos mutuos. Este elemento mutuo da origen a dos términos idénticos, excepto por el signo, en las dos ecuaciones de malla. Por ejemplo, el elemento mutuo es la bobina de 4 H.

ScreenShot637

Este elemento compartido (en este caso una bobina) se sustituye por un elemento dual (un condensador) que suministra el término dual  en las ecuaciones de nodo correspondientes, conectándolo directamente entre los nodos que están entre las mallas que contienen el elemento mutuo, así:

ScreenShot639

Paso 5: los elementos pasivos no compartidos

Los elementos pasivos que aparecen en una sola malla deben tener duales que aparecen entre el nodo de referencia y el nodo correspondiente, así:

ScreenShot640

Paso 6: las fuentes

Para determinar la polaridad de las fuentes de tensión y la dirección de las fuentes de corriente, siga esta regla:

  • Una fuente de tensión que produce una corriente de malla positiva (sentido horario) tiene como dual una fuente de corriente cuya dirección  es saliendo desde referencia o tierra hacia el nodo de no referencia.
  • Una fuente de tensión que produce una corriente de malla negativa (sentido anti horario) tiene como dual una fuente de corriente cuya dirección  es en desde el nodo de no referencia hacia el nodo de tierra o referencia.
  • En caso de duda, es posible verificar el circuito escribiendo las ecuaciones de nodo o de malla.

Como la fuente de voltaje está orientada en el sentido de las manecillas del reloj (sentido horario para una corriente de malla positiva que recorre  la fuente de menos a más), la fuente de corriente dual debe tener la flecha saliendo del nodo de referencia.

ScreenShot660

Paso 7: los valores de voltaje y corriente iniciales

Las ecuaciones de malla sugieren a través de las integrales que solo hay un voltaje inicial en el condensador.

El dual del voltaje inicial v(0) del condensador es una corriente inicial i(0) del inductor del mismo valor.

El sentido correcto de la corriente inicial se determina rápidamente tomando el voltaje inicial del condensador como una fuente con la misma polaridad del condensador.

Vemos que una corriente de malla negativa recorre esta fuente en sentido anti horario, por lo que la corriente inicial se dirige hacia el nodo de referencia, a través de la bobina.

ScreenShot642

Paso 8: redibujar el circuito dual

ScreenShot643

Paso 9: escribir las ecuaciones del circuito 2 y comparar

ScreenShot644

El circuito dual es:

ScreenShot645

Ejemplo 3 Dualidad

Determinar el circuito dual exacto del siguiente circuito:

ScreenShot646

Paso 1: escribir las ecuaciones del circuito 1

LVK: ecuaciones de malla del circuito 1

ScreenShot647

ScreenShot648

Paso 2: asociación de mallas y nodos

Asociar cada malla con un nodo, colocando un nodo en el centro de cada malla, así:

ScreenShot649

Paso 3: el nodo de referencia

Colocar un nodo de referencia que encierre el diagrama, así:

ScreenShot650

Paso 4: los elementos pasivos compartidos

Los elementos compartidos por dos mallas se llaman elementos mutuos.

Este elemento compartido se sustituye por un elemento dual conectándolo directamente entre los nodos que están entre las mallas que contienen el elemento mutuo, así:

ScreenShot651

Paso 5: los elementos pasivos no compartidos

Los elementos pasivos que aparecen en una sola malla deben tener duales que aparecen entre el nodo de referencia y el nodo correspondiente, así:

ScreenShot652

Paso 6: las fuentes

Como la fuente de voltaje está orientada en el sentido de las manecillas del reloj (sentido horario para una corriente de malla positiva que recorre  la fuente de menos a más), la fuente de corriente dual debe tener la flecha saliendo del nodo de referencia.

ScreenShot653

Paso 7: los valores de voltaje y corriente iniciales

El dual del voltaje inicial v(0) de un condensador (de acuerdo a las ecuaciones de malla) es una corriente inicial i(0) del inductor del mismo valor.

El sentido correcto de la corriente inicial en el inductor se determina rápidamente tomando el voltaje inicial del condensador como una fuente.

Vemos que para el condensador C1 que una corriente de malla negativa recorre esta fuente en sentido anti horario, por lo que la corriente inicial se dirige hacia el nodo de referencia, a través de la bobina L1.

Para el condensador C2 compartido por las mallas 2 y 3 no es posible escoger una sola corriente de malla, por lo que se procede a asignar arbitrariamente una corriente inicial sobre el inductor L2 que va del nodo V2 hacia el nodo V3. Más adelante, al escribir las ecuaciones veremos si esta elección fue afortunada.

ScreenShot654

Paso 8: redibujar el circuito dual

ScreenShot655

Paso 9: escribir las ecuaciones del circuito 2 y comparar

LCK: ecuaciones de nodo en circuito 2. Suma de corrientes que salen igual a suma de corrientes que entran.

Nodo V1:

ScreenShot656

Nodo V2

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Nodo V3

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