Caítuolo 55: Circuitos RC. Respuesta forzada. Aplicación súbita de fuentes

Circuitos RC con aplicación súbita de fuentes

Vamos a obtener la respuesta v (t) a partir de la ecuación de un circuito RC paralelo cuando se le aplica súbitamente una fuente de corriente de corriente continua. Esta ecuación se resuelve por separación de variables e integración.

Luego, vamos a analizar las dos partes que componen la respuesta, es decir, la respuesta natural y la respuesta forzada. Así, podremos aplicar los principios generales que respaldan este método para obtener soluciones rápidas a cualquier problema que implique la aplicación súbita de cualquier fuente.

Circuito RC paralelo con aplicación súbita de fuentes de C.C.

El circuito consta de un resistor, un capacitor, una fuente de corriente de corriente directa, un interruptor normalmente abierto que aplica la fuente súbitamente en t = 0.

El capacitor podría tener una energía inicial almacenada antes de cerrar el interruptor, por lo que se puede pensar en el como una fuente de voltaje.

Como el interruptor está abierto antes de t = 0, el voltaje a través del circuito vale cero por lo que se sustituye la fuente Is y el interruptor SW normalmente abierto por una fuente de corriente escalón de la forma

esquema008

esquema029

Esta fuente escalón tampoco produce respuesta antes de t = 0.

esquema020

Esto significa que descargamos el condensador para asegurar que no hay energía almacenada antes de cerrar el interruptor.

El circuito con la fuente de corriente escalón es:

esquema065

Solución:

esquema031

Primero obtenemos la respuesta para t < 0 y luego para t > 0.

En t < 0 el interruptor está abierto.

esquema032

En t > 0 el interruptor está cerrado.

esquema033

Ahora vamos a separar las variables voltaje y tiempo para hallar la respuesta Vc(t) en t > 0:

esquema034

Integramos a ambos lados de forma indefinida:

esquema035

Ambas integrales arrojan una constante que podemos agrupar en una sola constante k:

esquema036

Calculamos la constante a partir de la condición inicial:

esquema060

Para ver el efecto del voltaje inicial en la ecuación no lo haremos cero hasta el final.

esquema063

De aquí despejamos Vc:

esquema038.jpg

Tomando exponencial a ambos lados:

esquema039

esquema040

Vemos que el voltaje inicial afecta la amplitud del término exponencial. El condensador es una fuente exponencial que se agota con el tiempo.

Ahora hacemos cero el voltaje inicial:

esquema041

Esta es la solución buscada pero no se ha obtenido de la forma más simple.

Para establecer un método más directo analizaremos los dos términos de la respuesta.

esquema042.jpg

Análisis de la respuesta: primer término

esquema043

Si la fuente es una corriente escalón la respuesta es un término constante diferente de cero.

El circuito se comporta como un resistor y un capacitor en paralelo con una batería, por lo que aplica un voltaje directo IsR, ya que el capacitor se comporta como un circuito abierto.

esquema066

esquema047

Este voltaje es parte de la respuesta debida directamente a la función de excitación y recibe el nombre de respuesta forzada.

esquema048

La respuesta forzada es la solución de un CIRCUITO DE CORRIENTE DIRECTA, donde la fuente es una fuente de CORRIENTE constante, no dependiente del tiempo.

La respuesta forzada es la respuesta que está presente mucho tiempo después de que se ha cerrado el interruptor.

esquema049

La respuesta forzada tiene las características de la función de excitación, y se calcula suponiendo que todos los interruptores fueron cerrados hace mucho tiempo, de tal forma que la respuesta natural ha desaparecido.

esquema050

Análisis de la respuesta: segundo término

esquema051

Si el voltaje inicial es cero, el término exponencial es un exponencial negativo que tiende a cero conforme t aumenta y la energía se disipa gradualmente. El término exponencial está caracterizado por la constante de tiempo RC.

Es una respuesta que depende de las características del circuito, es decir, del resistor, del capacitor y de la fuente. Además, se supone que el capacitor está descargado inicialmente.

El término exponencial tiene la forma funcional que corresponde a la respuesta natural del circuito RC libre de fuentes.

esquema052

La respuesta natural se puede calcular tomando en cuenta sólo el circuito sin fuentes, y su amplitud depende de la amplitud inicial Is de la fuente, del resistor y de la condición inicial.

esquema053

Respuesta completa

Circuito RC paralelo con aplicación súbita de fuentes de C.C.

esquema054

esquema055

Argumentos físicos

En un momento determinado, una vez que desaparezca la respuesta natural, el circuito sólo tendrá la respuesta forzada.

En el momento antes de accionar el interruptor, el voltaje inicial del capacitor tendrá valores que dependen solo de la energía almacenada. No puede esperarse que este voltaje inicial del condensador sea el mismo que el voltaje producido por la respuesta forzada.

esquema070

Por tanto deberá haber un tiempo transitorio durante el cual el voltaje cambie de su valor inicial V0 dado a su valor final cero. Por eso esta parte de la respuesta durante este tiempo se llama respuesta transitoria o respuesta natural o respuesta sin fuentes.

La respuesta forzada en un circuito paralelo RC sin fuentes vale cero. La respuesta natural en estos circuitos sin fuentes se hace cero a la larga, excepto en algunos circuitos donde quedan voltajes atrapados. En estos la respuesta natural no desaparece, sino que alcanza un valor constante.

Argumentos matemáticos

La solución de toda ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes puede expresarse como la suma de dos partes: la solución complementaria o respuesta natural y la solución particular o respuesta forzada. Hallemos esas dos partes.

esquema071

Ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes en forma estándar:

esquema072.jpg

Que tiene la forma:

esquema073

Se puede identificar a Q (t) como una función de excitación que en general depende del tiempo. P en este caso es una constante positiva, pero en general es una función del tiempo.

Multiplicando ambos lados por un factor integrante, la ecuación se convierte en una ecuación diferencial exacta que se resuelve por integración.

El factor integrante es:

esquema074

El primer miembro es la diferencial exacta:

esquema075

Por lo cual:

esquema076

Se integra cada miembro:

esquema077

Donde A es una constante de integración que toma en cuenta la constante de ambas de integrales.

Despejando la corriente se tiene:

esquema078

Si Q (t) es conocida, es decir, si se conoce la fuente se puede evaluar la integral.

Observaciones:

  1. Para un circuito libre de fuentes Q vale cero y la respuesta es solo la correspondiente a la respuesta natural.esquema081
  2. El valor de P depende de los elementos pasivos del circuito, y en general es positiva.esquema080.jpg
  3. El primer término depende de la forma funcional de la función de excitación Q (t).
  4. Si Q (t) es una constante se trata de problemas de fuentes de corriente directa.esquema082
  5. Para el circuito RC en paralelo con fuente constante se tiene:esquema083
  6. La respuesta forzada pudo haberse obtenido sin necesidad de evaluar la integral, ya que esta debe ser la respuesta cuando el tiempo es infinito y la respuesta natural ha desaparecido. Como se tiene una fuente de corriente directa, la respuesta forzada es simplemente la corriente de la fuente multiplicado por la resistencia en paralelo. Así, la respuesta forzada se obtiene a simple vista.esquema084

esquema085

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