Capítulo 60: Circuito RLC en paralelo sin fuentes sobre amortiguado.

Circuito RLC en paralelo sin fuentes

Primero se calculará la respuesta natural, sin fuentes, de un circuito RLC en paralelo.

Para que haya respuesta se consideran condiciones iniciales ya sea en el inductor, en el capacitor o en ambos.

Se procederá a calcular la respuesta natural dada por el voltaje en el nodo que es común en el circuito paralelo. Se han supuestos corrientes de nodo en forma que satisfagan la convención pasiva de signos.

Respuesta natural en circuito RLC paralelo sobre amortiguado

esquema001

Paso 1: LCK

esquema003

Paso 2: expresar corrientes en función de voltaje

esquema001

Paso 3: derivar el voltaje respecto al tiempo y expresar en forma estándar

esquema005

Paso 4: obtener las frecuencias del circuito y el coeficiente de amortiguamiento relativo

esquema166

Paso 5: resolver la ecuación diferencial

esquema007

Paso 6: analizar los factores que hacen cero la ecuación auxiliar

esquema008

Paso 7: obtener las soluciones de la ecuación auxiliar

esquema167

esquema010

esquema011

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esquema038.jpg

esquema030.jpg

Unidades de las frecuencias

esquema041

esquema016

Paso 8: verificar el tipo de amortiguamiento

Hasta este punto, todos los pasos son idénticos sin importar el tipo de amortiguamiento.

Analizamos el discriminante que proporciona las soluciones de la ecuación auxiliar para determinar el tipo de amortiguamiento, según sea el coeficiente de amortiguamiento relativo, primero para el caso en que el discriminante es positivo, y luego para los demás casos.

esquema180.jpg

Valores límite de R, L y C

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esquema153

Intervalos de S1 y S2 en un circuito sobre amortiguado

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Operaciones entre S1 y S2 en un circuito sobre amortiguado

esquema025

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esquema142.jpg

esquema031.jpg

esquema140.jpg

Paso 9: plantear el tipo de respuesta de un circuito RLC paralelo

esquema246

Paso 10: calcular las constantes arbitrarias

Obtención de la primera ecuación

esquema247

Obtención de la segunda ecuación

esquema037

Calcular el valor numérico Kd de la derivada

esquema156

esquema155

Solución de las constantes del circuito

esquema040

esquema041

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Resumen Constantes del circuito RLC sobre amortiguado sin fuentes

esquema043

Paso 11: verificar si las soluciones satisfacen la ecuación diferencial

 

esquema033

esquema249

esquema250

esquema034.jpg

Paso 12: analizar la respuesta

esquema159.jpg

Determinar los tiempos críticos

esquema045

Obtener la segunda derivada

esquema160

Evaluar la segunda derivada en el número crítico

esquema047.jpg

Determinar máximos o mínimos

esquema161

Determinar tiempo de asentamiento

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Paso 13: graficar la respuesta

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Resumen Circuito RLC paralelo sobre amortiguado

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esquema052

Ejemplo 1

esquema003

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Ejemplo 2

Un circuito RLC paralelo contiene un resistor de 6 Ω, inductor de 7 H, un capacitor de 1/42 F. v (0) = 0 y i (0) = -10A.

esquema005

Paso 1: LCK

esquema006.jpg

Paso 2: expresar corrientes en función de voltaje

esquema165

Paso 3: derivar el voltaje respecto al tiempo y expresar en forma estándar

esquema008.jpg

Paso 4: obtener las frecuencias del circuito

esquema169.jpg

Paso 5: resolver la ecuación diferencial

esquema170.jpg

Paso 6: analizar los factores que hacen cero la ecuación auxiliar

esquema172.jpg

Paso 7: obtener las soluciones de la ecuación auxiliar

esquema173.jpg

Paso 8: verificar el tipo de amortiguamiento

esquema174.jpg

esquema175.jpg

esquema176.jpg

Paso 9: verificar si las soluciones satisfacen la ecuación diferencial

esquema013.jpg

Paso 10: plantear el tipo de respuesta de un circuito RLC paralelo

esquema177.jpg

Paso 11: calcular las constantes arbitrarias

Obtención de la primera ecuación

esquema017

Obtención de la segunda ecuación

esquema018.jpg

Calcular el valor numérico Kd de la derivada

esquema019.jpg

Solución de las constantes del circuito

esquema020

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Constantes del circuito RLC sin fuentes sobre amortiguado

esquema022.jpg

Paso 12: analizar la respuesta

esquema023

Determinar los tiempos críticos

esquema024.jpg

Obtener la segunda derivadaesquema025

Evaluar la segunda derivada en el número crítico

esquema026

Determinar máximos o mínimos

esquema179.jpg

Determinar tiempo de asentamiento

esquema027

Paso 13: graficar la respuesta

esquema028