Capítulo 46: El Circuito RC. Respuesta Natural. Eliminación súbita de fuentes.

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El Circuito RC

El Circuito RC simple: un resistor y un capacitor

Este arreglo tiene mayor importancia práctica que el arreglo de un resistor y un inductor, por las siguientes razones:

  • Menores pérdidas en el capacitor
  • Costo más bajo
  • Mejor aproximación del modelo matemático
  • Menor tamaño y peso

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Forma de solución 1: suponer una respuesta para la ecuación diferencial

Paso 1: suponer una respuesta

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Constantes desconocidas: A y S1

Paso 2: derivar la respuesta

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Paso 3: Sustituir la respuesta y la derivada en la ecuación diferencial

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Paso 4: factorizar

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Paso 5: analizamos los tres factores que hacen cero la ecuación.

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El producto RC representa el “ancho” de la curva y se denomina constante de tiempo o tau, y sus unidades son los segundos y las unidades de S1 corresponden a una frecuencia. Veámoslo:

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Paso 6: calcular la amplitud A.

Se hace uso de la condición inicial:

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Paso  7: obtener  la respuesta: voltaje en el condensador y en el resistor.

El voltaje a través del resistor es el mismo que el del condensador por estar en paralelo.

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Paso 8: verificar la respuesta

Sustituir la respuesta en la ecuación diferencial y obtener una identidad 0=0. Además, se sustituye t=0 en la respuesta, para obtener la condición inicial.

Paso 9: obtener la potencia DISIPADA en el resistor.

El voltaje a través del resistor es el mismo que el del condensador  por estar en ser paralelo.

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Paso 10: obtener la potencia GENERADA en el capacitor

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Observe que la suma de potencias es cero.

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Paso 11: obtener la energía convertida en calor en el resistor

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La energía total convertida en calor en el resistor se calcula integrando la potencia instantánea desde un tiempo CERO hasta un tiempo INFINITO.

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Paso 12: obtener la energía almacenada en el capacitor

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Observaciones:

La suma de potencia generada y consumida es cero.

El condensador se comporta como una fuente de voltaje durante un tiempo t

La energía total disipada en el resistor es la misma que la energía total almacenada en el capacitor.

La energía almacenada en el capacitor se disipa con el tiempo a través del resistor. Por esto hay que tener cuidado de verificar que los condensadores estén descargados antes de manipularlos.


Si se elige hallar corriente en vez de voltaje se aplica LVK así:

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 Forma de solución 2: resolver la ecuación diferencial

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Casi nunca es posible separar variables, por lo que es más conveniente y poderoso suponer una respuesta, donde haya varias constantes desconocidas, y obtener estas constantes tal que satisfagan la ecuación diferencial y las condiciones iniciales.

Ejemplo

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Solución:

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Método de solución paso a paso de un circuito RC

Respuesta Natural

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Ejemplo 1: Eliminación súbita de fuentes. Respuesta Natural. Circuito RC

Caso 1: un resistor y un capacitor.

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Paso 1: determinar el circuito en t<0 y calcular  Vc (0-)

En t< 0 el interruptor está en la posición “a”.  El interruptor está cerrado. El condensador se comporta como un circuito abierto en corriente continua.

ScreenShot299Paso 2: determinar el circuito en t>0 y calcular Vc (0+)

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Paso 3: escribir la forma funcional de la respuesta.

En este punto se identifica el caso, pues ya la fuente ha sido desconectada del circuito que involucra al condensador.

Caso 1: un resistor y un capacitor.

ScreenShot301

Paso 4: calcular Req y Ceq

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Paso 5: Calcular la frecuencia y la constante de tiempo.

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Paso 6: Calcular la amplitud a partir de la condición inicial.

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Paso 7: Hallar las demás respuestas.

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Ejemplo 2: Eliminación súbita de fuentes. Respuesta Natural. Circuito RC

Caso 2: varios resistores y un capacitor.

La identificación del caso se hace justo después de haber eliminado o desconectado la fuente, no antes.

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Solución:

Paso 1: determinar el circuito en t < 0 y calcular Vc (0-)

En t < 0 el interruptor está cerrado. El condensador se comporta como un circuito abierto en corriente continua.

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Paso 2: determinar el circuito en t > 0 y calcular Vc (0+)

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En t > 0 el interruptor está abierto y el condensador se comporta como fuente.

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Paso 3: escribir la forma funcional de la respuesta

En este punto se identifica el caso, pues ya la fuente ha sido desconectada del circuito que involucra al condensador.

Caso 2: un condensador y varios resistores

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Paso 4: calcular Req y Ceq

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Paso 5: Calcular la frecuencia y la constante de tiempo.

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Paso 6: Calcular la amplitud a partir de la condición inicial.

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Paso 7: Hallar las demás respuestas.

Ejemplo 3. Eliminación súbita de fuentes. Respuesta Natural. Circuito RC

Caso 2: varios resistores y un capacitor.

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Solución:

Paso 1: determinar el circuito en t < 0 y calcular Vc (0-)

En t < 0 el interruptor Sw está abierto. El condensador se comporta como un circuito abierto en corriente continua. Usando un divisor de corriente se tiene:

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Paso 2: determinar el circuito en t > 0 y calcular Vc (0+)

Como el voltaje no puede cambiar bruscamente en un condensador:

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En t > 0 el interruptor Sw está cerrado, Hay una desconexión súbita de la fuente, pues la fuente de corriente queda en cortocircuito al igual que el resistor R1. El condensador se comporta como una fuente.

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Paso 3: escribir la forma funcional de la respuesta.

Caso 2: varios resistores y un capacitor.

ScreenShot319

Paso 4: calcular Req y Ceq

ScreenShot320

Paso 5: Calcular la frecuencia y la constante de tiempo.

ScreenShot321

Paso 6: Calcular la amplitud a partir de la condición inicial.

ScreenShot322

Paso 7: Hallar las demás respuestas.

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