Capítulo 41: El Circuito RL. Respuesta Natural. Eliminación súbita de fuentes.

El Circuito RL simple: un resistor y un inductor

ScreenShot195

Forma de solución 1: suponer una respuesta para la ecuación diferencial

Paso 1: suponer una respuesta

ScreenShot162

Constantes desconocidas: A y S1

Paso 2: derivar la respuesta

ScreenShot163

Paso 3: Sustituir la respuesta y la derivada en la ecuación diferencial

ScreenShot164

Paso 4: factorizar

ScreenShot165

Paso 5: analizar los tres factores que hacen cero la ecuación.

ScreenShot198

ScreenShot181

ScreenShot180

La relación L/R representa el “ancho” de la curva y se denomina constante de tiempo o tau, y sus unidades son los segundos y las unidades de S1  corresponden a una frecuencia. Veámoslo:

ScreenShot258

Paso 6: calcular la amplitud A.

Se hace uso de la condición inicial:

ScreenShot185

Paso 7: obtener  la respuesta: corriente en la bobina y en el resistor.

La corriente a través del resistor es la misma que en la bobina por estar en serie.

ScreenShot1100

Paso 8: verificar la respuesta.

Sustituir la respuesta en la ecuación diferencial y obtener una identidad 0=0. Además, se sustituye t=0 en la respuesta, para obtener la condición inicial.

Paso 9: obtener la potencia DISIPADA en el resistor.

La corriente a través del resistor es la misma que la de la bobina por estar en serie.

ScreenShot186

Paso 10: obtener la potencia GENERADA en el inductor

ScreenShot197

Observe que la suma de potencias generada y consumida es cero.

Paso 11: obtener la energía convertida en calor en el resistor en un tiempo t

ScreenShot199

La energía TOTAL convertida en calor en el resistor se calcula integrando la potencia instantánea desde un tiempo CERO hasta un tiempo INFINITO.

ScreenShot173

Paso 12: obtener la energía ALMACENADA en el inductor

ScreenShot174

Observaciones:

La suma de potencia generada y consumida es cero.

La bobina se comporta como una fuente durante un tiempo t

La energía total disipada en el resistor es la misma que la energía total almacenada en el inductor.

La energía almacenada en el inductor se disipa con el tiempo a través del resistor. Por esto hay que tener cuidado de verificar que las bobinas estén descargadas antes de manipularlas.

La energía almacenada en el inductor en t=0 es cero, a menos que se tenga alguna energía almacenada previamente.

Forma de solución 2: resolver la ecuación diferencial

ScreenShot259

Casi nunca es posible separar variables, por lo que es más conveniente y poderoso suponer una respuesta, donde haya varias constantes desconocidas, y obtener estas constantes tal que satisfagan la ecuación diferencial y las condiciones iniciales.

En análisis de circuitos es común encontrar ecuaciones diferenciales cuya respuesta corresponde a una función exponencial o a la suma de varias funciones exponenciales.

Ejemplo 1. Circuito RL simple

ScreenShot260

Solución:

ScreenShot200

Método de solución paso a paso de un circuito RL

Respuesta Natural

ScreenShot1127

ScreenShot179

  • Paso 4: calcular Req  y Leq
  • Paso 5: Calcular la frecuencia y la constante de tiempo.
  • Paso 6: Calcular la amplitud  a partir de la condición inicial.
  • Paso 7: Hallar las demás respuestas.

Ejemplo 1: Eliminación súbita de fuentes. Respuesta Natural. Circuito RL

Caso 1: un resistor y un inductor.

La identificación del caso se hace justo después de haber eliminado o desconectado la fuente, no antes.

El circuito siguiente ha estado en la condición mostrada un tiempo muy largo. El interruptor se abre cuando t = 0.

ScreenShot189

Solución:

Paso 1: Determinar el circuito en t < 0 y calcular iL(0-)

En t < 0 el suiche Sw1 está cerrado. La bobina se comporta como un corto circuito en C.C.

A su vez, R1 está en corto a través de la bobina, y R2 está en corto a través de la bobina y el interruptor

ScreenShot190

Paso 2: Determinar el circuito en t > 0 y calcular iL (0+)

En t > 0 el interruptor Sw1 está abierto. Hay una desconexión súbita de la fuente.

Como la corriente no puede cambiar bruscamente en una bobina:

ScreenShot201

Paso 3: escribir la forma funcional de la respuesta

En este punto se identifica el caso, pues ya la fuente ha sido desconectada del circuito que involucra a la bobina.Observe que quedan dos circuitos separados.

Caso 1: un resistor y un inductor.

ScreenShot1134

Paso 4: calcular Req y Leq

En este caso solo hay un resistor para la descarga. La bobina se descargará a través del resistor R1 en t=0+.

ScreenShot261

Paso 5: Calcular la frecuencia y la constante de tiempo.

ScreenShot192

Paso 6: Calcular la amplitud a partir de la condición inicial.

ScreenShot202

Paso 7: Hallar las demás respuestas.

ScreenShot203

Ejemplo 2: Eliminación súbita de fuentes. Respuesta Natural.Circ uito RL

Caso 1: un resistor y un inductor.

El circuito siguiente ha estado en la condición mostrada un tiempo muy largo. El interruptor se abre cuando t = 0. El interruptor es un interruptor de un polo y dos tiros que se ha dibujado para indicar que cierra un circuito antes de abrir el otro. Se le conoce como hacer antes de cortar.

ScreenShot204

Solución

Paso 1: Determinar el circuito en t < 0 y calcular iL (0- )  

El suiche Sw está en cerrado en A. La bobina se comporta como un corto circuito en C.C. R2 no existe en t=0- ya que no circula corriente por él.

ScreenShot262

Paso 2: Determinar el circuito en t > 0 y calcular iL(0+)

En la posición intermedia entre A y B el resistor R2 está en corto y la corriente circula por la malla externa naranja. La bobina continúa en presencia de la fuente de C.C.

ScreenShot263

En t=0+ el suiche Sw1 está en la posición B. Se ha desconectado la fuente súbitamente. Como la corriente no puede cambiar bruscamente en una bobina:

ScreenShot207

Paso 3: escribir la forma funcional de la respuesta

Caso 1: un resistor y un inductor.

ScreenShot1147

Paso 4: calcular Req y Leq

La bobina se descargará a través del resistor R2 en t=0+.

ScreenShot264

Paso 5: Calcular la frecuencia y la constante de tiempo.

ScreenShot208

Paso 6: Calcular la amplitud a partir de la condición inicial I0.

ScreenShot209

Paso 7: Hallar las demás respuestas.

ScreenShot210

ScreenShot211

Ejemplo 3: Eliminación súbita de fuentes. Respuesta Natural. Circuito RL

Caso 2: varios resistores y un inductor.

El circuito siguiente ha estado en la condición mostrada un tiempo muy largo. El interruptor se abre cuando t = 0.

ScreenShot212

Solución

ScreenShot1155

Paso 1: Determinar el circuito en t<0 y calcular iL(0-)

El suiche Sw1 está cerrado.

La bobina se comporta como un corto circuito en C.C.

ScreenShot1156

La corriente por la bobina se conocerá cuando se tenga el voltaje en el nodo V.

LCK en nodo V: suma de corrientes que salen igual a cero.

ScreenShot213

Paso 2: Determinar el circuito en t>0 y calcular iL (0+)

El suiche Sw1 está abierto.

Como la corriente no puede cambiar bruscamente en una bobina:

ScreenShot214

Paso 3: escribir la forma funcional de la respuesta.

Caso 2: varios resistores y un inductor.

ScreenShot1159

Paso 4: calcular Req y Leq

La bobina se descargará a través de los resistores R2 y R3 del circuito en t=0+.

ScreenShot265

Paso 5: Calcular la frecuencia y la constante de tiempo.

ScreenShot216

Paso 6: Calcular la amplitud a partir de la condición inicial.

ScreenShot217

Paso 7: Hallar las demás respuestas.

ScreenShot218

ScreenShot219

Ejemplo 4:  Eliminación súbita de fuentes. Respuesta Natural. Circuito RL

Caso 2: varios resistores y un inductor.

Conocida la corriente inicial por la bobina.

ScreenShot220

Solución

Paso 1: Determinar el circuito en t<0 y calcular iL(0-)ScreenShot1201Paso 2: Determinar el circuito en t>0 y calcular  iL (0+)

Como la corriente no puede cambiar bruscamente en una bobina:ScreenShot1202Paso 3: escribir la forma funcional de la respuesta.

Caso 2: varios resistores y un inductor.ScreenShot1203Paso 4: calcular Req y Leq

La bobina se descargará a través de todos los resistores del circuito R1, R2, R3 y R4 en t=0+.

ScreenShot266Paso 5: Calcular la frecuencia y la constante de tiempo.

ScreenShot222

Paso 6: Calcular la amplitud a partir de la condición inicial.

ScreenShot223

Paso 7: Hallar las demás respuestas.

ScreenShot267

Ejemplo 5: Eliminación súbita de fuentes. Respuesta Natural. Circuito RL

Caso 2: varios resistores y un inductor.

Conocida la corriente inicial por R1, y no la del inductor.

ScreenShot224

Solución

Paso 1: Determinar el circuito en t < 0 y calcular iL(0-)

ScreenShot1215

Paso 2: Determinar el circuito en t > 0 y calcular iL(0+)

Como la corriente no puede cambiar bruscamente en una bobina:

ScreenShot1216

Paso 3: escribir la forma funcional de la respuesta.

Caso 2: varios resistores y un inductor.

ScreenShot1217

Paso 4: calcular Req y Leq

La bobina se descargará a través de todos los resistores R1, R2, R3 y R4 del circuito en t=0+.

ScreenShot268

Paso 5: Calcular la frecuencia y la constante de tiempo.

ScreenShot225

Paso 6: Calcular la amplitud a partir de la condición inicial

ScreenShot227

Paso 7: Hallar las demás respuestas.

ScreenShot269

ScreenShot229

ScreenShot270

Ejemplo 6: Eliminación súbita de fuentes. Respuesta Natural. Circuito RL

Caso 2 varios resistores y un inductor

ScreenShot232

Solución

Paso 1: Determinar el circuito en t<0 y calcular  iL1 (0-)

El suiche Sw está abierto. La bobina se comporta como un corto circuito en C.C. Las corrientes son constantes y no exponenciales.

ScreenShot233

Paso 2: Determinar el circuito en t>0 y calcular iL1 (0+)

El suiche Sw está cerrado. La fuente está en corto. Se ha desconectado la fuente súbitamente. Como la corriente no puede cambiar bruscamente en una bobina:

ScreenShot234

Paso 3: escribir la forma funcional de la respuesta.

Caso 2: varios resistores y un inductor.

ScreenShot271

Paso 4: calcular Req y Leq

ScreenShot272

Paso 5: Calcular la frecuencia y la constante de tiempo.

ScreenShot236

Paso 6: Calcular la amplitud a partir de la condición inicial I0.

ScreenShot237

Paso 7: Hallar las demás respuestas.

ScreenShot238

ScreenShot239

ScreenShot240

Ejemplo 7: Eliminación súbita de fuentes. Respuesta Natural. Circuito RL

Caso 4: varios resistores y varios inductores.

ScreenShot241

Solución

ScreenShot1229

Paso 1: Determinar el circuito en t<0 y calcular iL1 (0-)

El suiche Sw está cerrado. La bobina se comporta como un corto circuito en C.C. Las corrientes son constantes y no exponenciales en t<0.

ScreenShot242

Paso 2: Determinar el circuito en t>0 y calcular iL1 (0+)

El suiche Sw está abierto. Se ha desconectado la fuente súbitamente. Como la corriente no puede cambiar bruscamente en una bobina:

ScreenShot243

Paso 3: escribir la forma funcional de la respuesta.

Caso 2: varios resistores y varios inductores.

ScreenShot273

Paso 4: calcular Req y Leq

ScreenShot244

Paso 5: Calcular la frecuencia y la constante de tiempo.

ScreenShot245

Paso 6: Calcular la amplitud a partir de la condición inicial 

ScreenShot246

Paso 7: Hallar las demás respuestas.

ScreenShot247

Ayúdame a mejorar este blog dándome tus comentarios.

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s