Capítulo 20: Análisis de Nodos

Análisis de Nodos

El análisis de nodos es completamente general y siempre se puede aplicar a cualquier red eléctrica.

Procedimiento paso a paso

Paso 1: referenciar cada elemento

Paso 2: localizar y enumerar los nodos

Paso 3: elegir un nodo de referencia

Paso 4: definir un voltaje entre cada nodo y el nodo de referencia.

Paso 5: obtener ecuaciones. Aplicar LCK a cada nodo

Paso 6: resolver el sistema de ecuaciones

Ejemplo 1 análisis de nodos

Dos fuentes de corriente

ScreenShot225

PASO 1: REFERENCIAR CADA ELEMENTO

Para facilitar la comprensión del circuito se referencia cada elemento del circuito, usando los subíndices S para las fuentes (sources)

ScreenShot226

PASO 2: ENUMERAR LOS NODOS Y ELEGIR UN NODO DE REFERENCIA

En un circuito con N nodos deberán haber N-1 voltajes desconocidos y N-1 ecuaciones. Se elige como nodo de referencia aquel al cual están conectadas el mayor número de ramas.

ScreenShot227

El nodo de referencia tiene cuatro ramas conectadas.

PASO 3: DEFINIR UN VOLTAJE ENTRE CADA NODO Y EL NODO DE REFERENCIA.

Supondremos que el nodo de referencia es de CERO VOLTIOS.

Debe haber N-1 voltajes de nodo desconocidos. Como hay tres nodos, hay 2 voltajes desconocidos, V1 y V2 y dos ecuaciones.

ScreenShot228

Los voltajes se definen entre pares de nodos. Se sobreentiende que el  voltaje colocado en cada uno de los nodos es el voltaje de ese nodo respecto al nodo de referencia. Si se elige un nodo de referencia diferente, los voltajes serán diferentes.

Esta es la única situación en la cual se usará el voltaje en el nodo sin los signos más-menos, exceptuando que se trate de una batería.

PASO 4: OBTNENER ECUACIONES. APLICAR LCK A CADA NODO

Para obtener un conjunto de ecuaciones se aplica LCK a cada nodo, excepto al de referencia, Al nodo de referencia nunca se aplica LCK.

Para evitar equivocaciones al aplicar LCK se recorre cada nodo en forma circular de izquierda a derecha, comenzando por la cola y terminando en la punta de flecha. Debe haber N-1 ecuaciones. Es decir, en este caso debe haber dos ecuaciones.

ScreenShot229

LCK en nodo N1

Se puede emplear suma de corrientes que entran igual  a cero, o suma de corrientes que salen igual a cero, o suma de corrientes que entran igual a suma de corrientes que salen. Se debe procurar no trazar las flechas de corriente en cada nodo, sino visualizarlas mentalmente. En este caso hemos considerado que todas las corrientes SALEN de cada nodo.

Aplicar la Ley de Ohm

ScreenShot230

Multiplicamos ambos lados por 10:

ScreenShot231

LCK en nodo N2

ScreenShot232

Multiplicamos ambos lados por 5:

ScreenShot233

Observe que:

ScreenShot234

Además, para la corriente I2, como V1 aparece primero la flecha va desde V1 hacia V2 , y para I4 la flecha va desde V2  hacia V1.

De nuevo, no es necesario colocar las fechas de corriente. Se ha hecho para dar claridad.

PASO 5: RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES

Se resuelve el sistema de ecuaciones, para obtener los voltajes de nodo, usando determinantes, o cualquier otro método de solución de ecuaciones como reducción, sustitución, igualación o eliminación gausiana.

ScreenShot235

Multiplicamos la Ec 2 por 7:

ScreenShot236

Sumamos Ec 1 y Ec 3:

ScreenShot237

Una vez obtenidos los voltajes es fácil obtener las corrientes aplicando la Ley de Ohm y LCK.

ScreenShot239

ScreenShot238

Ejemplo 2 análisis de nodos

Tres fuentes de corriente (matriz de conductancias simétrica)

ScreenShot241

PASO 1: REFERENCIAR CADA ELEMENTO

Para facilitar la comprensión del circuito se referencia cada elemento del circuito, usando los subíndices S para las fuentes (sources)

ScreenShot242

PASO 2: ENUMERAR LOS NODOS Y ELEGIR UN NODO DE REFERENCIA

ScreenShot243

En este caso hay 4 nodos. Se elige como nodo de referencia aquel al cual están conectadas el mayor número de ramas, es decir, el nodo 4 que tiene cuatro ramas. También se pudo haber escogido el nodo 2 como referencia.

PASO 3: DEFINIR VOLTAJES ENTRE CADA NODO Y EL NODO DE REFERENCIA.

Debe haber N-1 voltajes de nodo desconocidos. Como hay cuatro nodos, hay 3 voltajes desconocidos, V1, V2 y V3.

ScreenShot243

PASO 4: OBTENER ECUACIONES. APLICAR LCK A CADA NODO

Para obtener un conjunto de ecuaciones se aplica LCK a cada nodo, excepto al de referencia, Debe haber N-1 ecuaciones, es decir, debe haber 3 ecuaciones.

Para evitar equivocaciones al aplicar LCK se recorre cada nodo en forma circular de izquierda a derecha, comenzando por la cola y terminando en la punta de flecha.

ScreenShot245

LCK en nodo N1

Tenga cuidado al aplicar la Ley de Ohm, pues se trata de conductancias.

ScreenShot246

LCK en nodo N2

ScreenShot247

LCK en nodo N3

ScreenShot248

PASO 5: RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES

Se resuelve el sistema de ecuaciones, para obtener los voltajes de nodo, usando determinantes, o cualquier otro método de solución de ecuaciones como reducción, sustitución, igualación o eliminación gausiana.

ScreenShot249

Forma matricial del sistema:

ScreenShot250

G es la matriz de conductancias simétrica, aunque no se corresponde con los valores de las conductancias en el circuito. Sirve como forma de verificación si se ha cometido un error al escribir las ecuaciones en un circuito solo con fuentes independientes de corriente.

ScreenShot251

Se hace fácil ahora determinar las corrientes en cada nodo, aplicando la fórmula: I = GV. Se han cambiado las direcciones de las flechas cuya corriente es negativa para facilitar la verificación de corrientes en cada nodo.

ScreenShot252

Ejemplo 3 análisis de nodos

Una fuente de voltaje (supernodos)

ScreenShot253

PASO 1: REFERENCIAR CADA ELEMENTO

Para facilitar la comprensión del circuito se referencia cada elemento del circuito, usando los subíndices S para las fuentes (sources)

ScreenShot254

PASO 2: ENUMERAR LOS NODOS Y ELEGIR UN NODO DE REFERENCIA

ScreenShot255

En este caso hay 4 nodos. Se elige como nodo de referencia aquel al cual están conectadas el mayor número de ramas, es decir, el nodo 4 que tiene cuatro ramas. También se pudo haber escogido el nodo 2 como referencia.

PASO 3: DEFINIR VOLTAJES ENTRE CADA NODO Y EL NODO DE REFERENCIA.

Los voltajes se definen entre pares de nodos. Como hay cuatro nodos, deberá haber tres voltajes desconocidos y tres ecuaciones.

ScreenShot256

PASO 4: ESTABLECER SUPERNODO SOBRE FUENTES DE VOLTAJE SI LAS HAY

Cuando hay presente una fuente de voltaje, se establece un supernodo alrededor de esa fuente.

En este caso establecemos un supernodo en torno a la fuente de 22V

ScreenShot257

PASO 5: OBTENER ECUACIONES. APLICAR LCK A CADA NODO Y SUPERNODO

Se aplica LCK a cada nodo y supernodo, excepto al de referencia, para obtener un conjunto de ecuaciones.

Debe haber N-1 ecuaciones. Es decir, debe haber 3 ecuaciones. La inclusión de una fuente de voltaje reduce en uno el número de nodos a los que se aplica LCK.

Para evitar equivocaciones al aplicar LCK se recorre cada nodo en forma circular de izquierda a derecha. Se debe evitar considerar una corriente en la fuente de voltaje.

ScreenShot258

LCK en nodo N1

ScreenShot259

LCK en supernodo N2-N3

ScreenShot260

Ecuación de la fuente de voltaje (supernodo N2-N3)

Como apenas hay dos ecuaciones, la otra ecuación se obtiene de la fuente de voltaje ubicada en el supernodo.

ScreenShot261

PASO 6: RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES

Se resuelve el sistema de ecuaciones, para obtener los voltajes de nodo, usando determinantes, o cualquier otro método de solución de ecuaciones como reducción, sustitución, igualación o eliminación gausiana.

ScreenShot262

Se organizan para resolver por determinantes:

ScreenShot263

G ya no es una matriz de conductancias propiamente dicha, ya que la ecuación 3 no tiene nada que ver con conductancias.

He resuelto este sistema con el programa Microsoft Mathematics 4.0

ScreenShot264

Por último, se calculan las corrientes y se verifican en cada nodo.

ScreenShot265

Ejemplo 4 análisis de nodos

Cuatro tipos de fuentes

ScreenShot266

PASO 1: REFERENCIAR CADA ELEMENTO

Para facilitar la comprensión del circuito se referencia cada elemento del circuito, usando los subíndices S para las fuentes (sources)

ScreenShot267

PASO 2: ENUMERAR LOS NODOS Y ELEGIR UN NODO DE REFERENCIA

En este caso hay cinco nodos. Se elige como nodo de referencia aquel al cual están conectadas el mayor número de ramas, es decir, el nodo 5 que tiene cuatro ramas.

ScreenShot268

PASO 3: DEFINIR VOLTAJES ENTRE CADA NODO Y EL NODO DE REFERENCIA.

Los voltajes se definen entre pares de nodos. Debe haber N-1 voltajes de nodo desconocidos, es decir, 4 voltajes. Se sobreentiende que el  voltaje colocado en cada uno de los nodos es el voltaje de ese nodo respecto al nodo de referencia, que se considera de cero voltios.

Esta es la única situación en la cual se usará el voltaje en el nodo sin los signos más-menos, exceptuando que se trate de una batería.

ScreenShot269

PASO 4: ESTABLECER SUPERNODOS SOBRE FUENTES DE VOLTAJE SI LAS HAY

Cuando hay presente una fuente de voltaje, se establece un supernodo alrededor de esa fuente. En este caso establecemos un supernodo en torno a la fuente Vs1 y otro en torno a la fuente Vs2.

ScreenShot270

PASO 5: OBTENER ECUACIONES. APLICAR LCK A CADA NODO

Se aplica LCK a cada nodo y supernodo, excepto al de referencia, para obtener un conjunto de ecuaciones.

Debe haber N-1 ecuaciones. Es decir, debe haber 4 ecuaciones.

Para evitar equivocaciones al aplicar LCK se recorre cada nodo en forma circular de izquierda a derecha, comenzando por la cola y terminando por la punta de flecha.

Ecuación de la fuente de voltaje (supernodo N1-REF)

Observe que no se puede aplicar LCK en este supernodo porque es el de referencia, pero si podemos establecer el voltaje de la fuente.

ScreenShot271

LCK en nodo N2:

ScreenShot272

Multiplicamos ambos lados por 2:

ScreenShot273

Obtenemos Vx de la variable de control:

ScreenShot275

LCK en supernodo N3-N4

ScreenShot276

Obtenemos Vx y Vy de las variables de control:

ScreenShot277

Multiplicamos ambos lados por 10:

ScreenShot278

Ecuación de la fuente de voltaje (supernodo N3-N4)

ScreenShot279

Multiplicamos por 5 ambos lados:

ScreenShot280

PASO 6: RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES

Se resuelve el sistema de ecuaciones, para obtener los voltajes de nodo, usando determinantes, o cualquier otro método de solución de ecuaciones como reducción, sustitución, igualación o eliminación gausiana.

ScreenShot281

Sustituimos V1 en todas las ecuaciones:

ScreenShot282

ScreenShot283

Por último calculamos las corrientes y verificamos la suma en cada nodo.

ScreenShot284

Ejemplo 5 análisis de nodos

Una fuente de tensión dependiente

ScreenShot285

PASO 1: REFERENCIAR CADA ELEMENTO

ScreenShot286

PASO 2: ENUMERAR LOS NODOS Y ELEGIR UN NODO DE REFERENCIA

Elegimos como nodo de referencia el nodo tierra o GROUND del amplificador.

ScreenShot287

PASO 3: DEFINIR VOLTAJES ENTRE CADA NODO Y EL NODO DE REFERENCIA.

ScreenShot288

PASO 4: OBTENER ECUACIONES. APLICAR LCK A CADA NODO

Hay 4 nodos, lo que debe dar tres voltajes desconocidos, y tres ecuaciones de nodo.

El objetivo será definir el voltaje de salida Vo en términos del voltaje de entrada Vs.

ScreenShot289

LCK en nodo Vo

ScreenShot290

Ecuación de la fuente de voltaje (supernodo V2-ref)

ScreenShot291

Ecuación de la fuente de voltaje (supernodo V3-ref)

ScreenShot292

PASO 5: RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES

Sustituimos Ec 2 y Ec 3 en Ec 1

ScreenShot293

Separamos en Vo y Vs:

ScreenShot294

Factor común Vo y Vs:

ScreenShot295

Sustituimos los valores de Ri, Ro y RL

ScreenShot296

Este es un buen momento para observar que la carga RL tiene poco efecto sobre la salida.

Una respuesta a Capítulo 20: Análisis de Nodos

  1. carlos dubon dijo:

    Es un exelente blog , gracias por cierta informacion adicional me servira mucho

    Me gusta

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