Capítulo 13: Leyes de Kirchhoff

 Leyes de Kirchhoff

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Gustav Robert Kirchhoff (Königsberg, 12 de marzo de 1824 – Berlín, 17 de octubre de 1887) fue un físico prusiano.

Conductor eléctrico

Los elementos se conectan por medio de conductores eléctricos o alambres que tienen idealmente resistencia cero, es decir, son conductores ideales.

Red de parámetros concentrados

La apariencia de la red es la de un número definido de elementos simples y un conjunto de alambres o conductores de resistencia cero.

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Red de parámetros distribuidos

Red que contiene un número infinito de elementos infinitamente pequeños, donde los conductores no tienen resistencia cero. Este es un tema que se estudia en un curso de líneas de transmisión.

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Nodo

Punto en el cual dos o más elementos tienen una conexión común.

Un conductor o alambre puede verse como un nodo.

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Descomposición de nodos

Un nodo puede descomponerse en varios puntos de conexión, sin embargo, cada punto de conexión hace parte del mismo nodo. Deben considerarse todos los alambres como conductores ideales, es decir, de resistencia cero, y las porciones de ellos como parte de nodo mismo.

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No puede decirse que haya dos nodos en torno al nodo 1. La porción de conductor encerrada es el mismo nodo, y es suficiente con marcar uno de los puntos de contacto entre ramas.

Designación de los nodos

En vez de escribir nodo 1, nodo 2, etc, se enumeran N1, N2, etc, o 1, 2, 3 etc o el nombre que se quiera siempre que en el contexto quede claro que se trata de nodos. No es necesario marcar todos los puntos de conexión.

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Rama

Trayectoria simple de red compuesta por un elemento simple y por los nodos situados en cada uno de sus extremos.

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Trayectoria

Si no se pasa a través de ningún nodo más de una vez, entonces el conjunto de nodos y elementos a través de los cuales se pasa es una trayectoria.

Una trayectoria es una colección particular de ramas.

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Trayectoria cerrada o lazo

Si el nodo en el que termina es el mismo en que comenzó.

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Malla

Lazo que no contiene a ningún otro lazo dentro de él. Usualmente se recorren en sentido horario y se les asigna una corriente. En el siguiente circuito hay tres mallas: malla I1, I2, I3. Estas corrientes se llaman corrientes de malla.

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Circuito o conexión paralelo

Dos o más elementos están en paralelo si comparten el mismo par de nodos, y por tanto el mismo voltaje.

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Circuito o conexión serie

Dos o más elementos están en serie si a través de cada elemento circula la misma corriente.

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Ley de corrientes de Kirchhoff o LCK

También llamada Ley de Nodos o Primera Ley de Kirchhoff

Cualquiera de las expresiones siguientes define la LCK.

  • La suma algebraica de las corrientes que entran en cualquier nodo es cero. Las corrientes que entran son positivas y las que salen son negativas.

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  • La suma algebraica de las corrientes que salen de cualquier nodo es cero. Las corrientes que salen son positivas y las que entran son negativas.

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  • La suma de corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. Tanto las corrientes que entran como las que salen son positivas.

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Una expresión compacta para la LCK es:

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Cuyo desarrollo es:

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Esta ley representa el hecho de que la carga no puede acumularse en ningún nodo.

Un nodo no es un elemento, por lo cual no puede almacenar, destruir o generar carga.

En la expresión anterior TODAS las corrientes SALEN o TODAS las corrientes ENTRAN al nodo.

Ley de voltajes de Kirchhoff o LVK

También llamada Ley de Mallas o Segunda Ley de Kirchhoff

La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito es cero.

El voltaje es una medida de la diferencia de energía potencial entre las terminales del elemento.

La energía requerida para mover una unidad de carga del punto A al punto B en un circuito debe tener un valor que sea independiente de la trayectoria para ir de A hacia B.

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Si se transporta un coulombio de A hacia B a través del elemento 1, los signos de la polaridad de V1 muestran que se realiza un trabajo de W1 joules, de más potencial a menos potencial.

Si en lugar de ir de A hacia B por 1, se elige pasar por el punto C, entonces se gastará una energía de W2 – W3.

Pero estos valores deben ser iguales ya que el trabajo es independiente de la trayectoria.

Cualquier ruta lleva el mismo voltaje.

Por tanto,

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O equivalentemente, como el voltaje es el trabajo que se realiza para transportar una carga desde un punto A a un punto B.

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Entonces:

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Se tiene entonces que si se recorre una trayectoria cerrada, la suma algebraica de los voltajes de los elementos individuales que la componen debe ser cero.

Recorriendo la malla en sentido horario se tiene:

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Se tiene una forma compacta para la LVK:

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Cuyo desarrollo es:

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Esta ley es una consecuencia de la conservación de la energía.

Se puede aplicar LVK en un circuito en varias formas diferentes.

Un método que es útil para evitar errores al escribir las ecuaciones consiste en recorrer la trayectoria cerrada en el sentido horario y escribir directamente el voltaje de cada elemento de acuerdo al signo que se encuentre primero.

Ejemplo 1 LVK

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Paso 1: referenciar cada elemento y asignar voltajes

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Paso 2: definir corrientes de malla

Observa que en torno a Vx no hay una rama, pero podemos trazar mallas a ambos lados.

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Paso 3: obtener ecuaciones con LVK a cada malla del circuito

Ahora, recorremos metódicamente de izquierda a derecha cada malla aplicando LVK y tratando de determinar si es posible despejar una variable.

Vemos que para calcular  V2 aplicamos LVK en la malla de la izquierda, así:

LVK en Malla 1:

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Ahora usamos el valor calculado para recorrer la malla 2 y obtener Vx.

LVK en Malla 2:

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Observe que Vx  también se puede calcular a través del lazo azul, así:

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Ejemplo 2 LCK, LVK y Ley de Ohm

Calcule el número de ramas y nodos e Ix y Vx en el siguiente circuito:

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Paso 1: referenciar elementos del circuito, asignar voltajes y corrientes.

Se asignan referencias a voltajes y corrientes para poder operar fácilmente.

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Paso 2: localizar y enumerar los nodos y elegir un nodo de referencia

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Paso 3: determinar ramas

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El circuito tiene 6 ramas y 5 nodos.

Paso 4: Aplicar LCK, LVK y Ley de Ohm para obtener ecuaciones.

LCK en Nodo 2:

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Ley de Ohm sobre Rd  para hallar Iy:

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LVK en Malla 1para calcular Vx:

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Ley de Ohm sobre Rc para hallar Vc:

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Ejemplo 3 LCK, LVK y Ley de Ohm

Calcule el número de ramas y nodos e Ix y Vx en el siguiente circuito:

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Paso 1: referenciar elementos del circuito, asignar voltajes y corrientes

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Paso 2: referenciar nodos

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Paso 3: determinar ramas

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El circuito tiene 6 ramas y 4 nodos

Paso 4: Aplicar LCK, LVK y Ley de Ohm para obtener ecuaciones.

LCK en Nodo 1:

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LVK en Malla 3 para hallar Vx:

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Ley de Ohm sobre R3  para hallar V3 :

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Calcular Iz:

LCK en Nodo 3:

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Ejemplo 4 LCK, LVK y Ley de Ohm

Calcule el número de ramas y nodos e Ix y Vx en el siguiente circuito:

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Paso 1: referenciar elementos del circuito, asignar voltajes y corrientes

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Paso 2: referenciar nodos

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Paso 3: determinar ramas

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El circuito tiene 5 ramas y 3 nodos

Paso 4: Aplicar LCK, LVK y Ley de Ohm para obtener ecuaciones.

Ley de Ohm sobre R3 para calcular V3 :

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Ley de Ohm sobre R2 para calcular I3:

R2 y R3  están conectados al mismo par de nodos 2-ref, por lo cual tienen el mismo voltaje V3. Están en paralelo.

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LCK en nodo 2 para calcular I4:

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Ley de Ohm sobre R4 para hallar Vx:

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LVK en malla B para hallar Ix:

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Ley de Ohm sobre R1 para hallar I1:

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LCK en nodo 1:

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Acerca de giovannihr2005

Fundador del sitio ¿Qué cura el cáncer?. La razón. mi esposa recorrió ese camino y salio adelante.
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